讲座：数学创造性思维能力培养的尝试

【内容提要】

“数学是培养学生思维的艺术体操”，如何让我们的数学课堂处处漂溢着“问题”和“思想”，浸润着“智慧”和“理性”，呈现出“和谐”与“快乐”，让学生的情感被激发，思维在碰撞，创新火花点燃？培养好学生的创造性思维是突破口，是金钥匙，是点石成金的指头，本文就学生数学思维受阻原因作出调查、剖析，结合自己教学实践，就如何培养学生的思维能力谈一点浅薄做法，和各位专家、同行交流，敬请赐教。

【关键词】数学思维、数学思维能力、思维受阻原因、数学思维品质、数学思维能力培养。

一、数学思维与数学思维能力的含义

数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。

数学思维能力主要包括四个方面的内容：

1．会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；

2．会用归纳、演绎和类比进行推理；

3．会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；

4．能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

新课标指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中。通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力。

新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

二、学生数学思维受阻的原因

根据个人经验，参考有关资料，我认为学生思维受阻的主要原因有以下几点：

1．数学思想方法缺乏。

由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在。华东师大曾对附中的高一学生的调查表明，在常用的数学思想方法中，初中学生掌握得最好的是方程思想，知道并会应用的占84.02%，观察与试验的方法、类比与联想的方法知道并会运用的分别占25.68%和24.52%，不知道的分别占42.02%和34.44%。重点中学的学生如此，一般学校可想而知。我校上学期在初三年级开设的“学法讲座”深受学生欢迎。

2．学习目标确定不当。

比如，一份调查显示，学生对于自己“在初中阶段数学学习的要求”选择“名列前茅”的占79.18%，选择“中等水平”的占17.45%。而对自己在高中阶段选择“名列前茅”的占45.46%，选择“中等水平”的占47.05%。许多学生考上高中后，便想喘口气，放松一下学习节奏。在高一学生中，回答“你对学习的感觉”时，感到困难的占52%，一部分学生选择了降低要求的方法，认为自己目前的数学学习状态“良好”的仅占24.06%，认为“一般”的占57.44%，认为“较差”的占18.5%。学习要求的降低，影响了学习效果，使得数学思维发展的速度无法加快。

3．思维惰性造成思维模糊。

一份在“遇到难题的处理方式”的调查中，选择“等老师讲解”的占12%，选择“问同学或问老师”的占52%，选择“继续思考”的只有16%，选择“等以后再解决”的占20%。思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，出现思维的惰性。观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。这是学生思维障碍的最普遍原因。

4．思维惯性造成思维机械。

思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在。一份问卷调查资料中，有30%的同学在回答“解题时出现错误的原因”选择了“审题不清”这一项。学生在解数学题时，常尚未看清题意，见术语，便罗列公式，生搬硬套；见数据，便代入演算，拼凑解答等。

5．思维线性造成思维中断。

在一份问卷调查中，回答“经常出现思维的方向性错误”的学生占了50%，他们由于思维的单一性，呈线性状态，导致思维过程常常中断而受阻。

6．各学段的衔接不当。

主要表现在三个方面：（1）节奏变化。就一节课的知识容量而言，初中远比不上高中，因而在讲解中就有快慢和粗细之分。这一快一慢，一粗一细两对矛盾就很容易将初中与高中阻隔，产生两极分化，使初高中难以得到系统的响应，从而影响学生数学思维的发展。华东师大附中的调查：认为高中数学学习节奏比初中快的占82.17%，而觉得慢的同学仅占5.5%。（2）教学方法的差异。有48.07%的学生认为初中数学课大部分由老师讲解，小部分由学生练习，认为初中重视学生讨论与自学的仅占9.2%。这表明初中学生讨论与自学的这一学习方法并没有得到充分的培养，没有发挥学生的主观能动性。在高中，认为上课大部分由老师讲解的降低到27.34%，认为讨论与练习相当的则升至37.84%。（3）教材因素导致初高中数学知识点脱节。华东师大附中的调查中，有49.63%的市、区重点中学的学生认为“对所需的初中知识感到略能运用，但还有些困难”，而感到需要补充初中知识点的占20.53%，对所需初中知识能运用自如的不到30%。

7．评价机制本身的不完善或评价机制贯彻的不完全。

主要表现在三个方面：（1）不考的不学。华东师大附中学生的调查表明，初中数学教师对“中考不考，可以省略”的态度中，偶尔说的占50.57%，经常说的占21.18%。（2）评价方式单一。无论对老师还是学生，往往都是以学科考试成绩作为主要指标进行评价。（3）考试导向的偏差。我认为用考试的方法进行评价的本身并没错，问题是考试（命题）本身的导向是否正确。

三、如何培养学生的数学思维能力

心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。

思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。

数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。         

为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。

创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间。

批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。

培养和发展学生思维能力的核心内容，是培养学生的创造性思维。创造性思维是指人们在创造性活动中的思维，是智力活动中最高表现。下面浅谈在初中数学教学过程中，如何培养学生的创造性思维能力的几种做法，仅供参考。 

 （１）、善于激情引趣，调动学生内在的思维能力

兴趣，可以使一个人几天几夜不睡觉地工作，可以使人把毕生的精力献给他热爱的工作。兴趣，可以使达尔文把甲虫放在嘴巴里，可以使舍勒去尝试氢氰酸。兴趣的力量如此巨大，我们应该努力在教学中培养学生的学习兴趣，把学生从苦不堪言的书山题海中解放出来，促进思维发展。比如在讲授《一定能摸到红球吗？》时，我让学生以小组为单位进行游戏，让他们在游戏中体会和学习确定事件和不确定事件。又如，“用正方形的纸折出一个无盖的长方体，使其体积最大”这一问题，从学生熟悉的折纸活动开始，进而通过操作，抽象分析和交流，形成问题的代数表达；再通过收集有关数据以及对不同数据的归纳，猜测“体积变化与边长变化之间的联系”；最终，通过交流与验证等活动，获得问题的解决，并对求解的过程作出反思。在这个过程中，学生体会到“图形的展开与折迭”“字母表示”和“制作与分析统计图表”等方面知识，培养他们的兴趣，促进思维发展。

   （２）、善于引导质疑，培养学生的创造性思维的前提

“学成于思，思源于疑。”如果能适时地提出疑问，让学生思考，启发引导思维，他们思维的积极性就能得到充分发挥，创造性思维能力得到很好的锻炼。

例1、平面上有A、B、C三个点，且它们不在同一条直线上，根据直线的基本性质，一共可以画出多少条直线？

分析：根据直线的基本性质，两点确定一条直线，那么过A点的直线有2条AB、AC，过B点的直线除AB外，只有BC，因此，过不在同一条直线上三点可以确定2+1=3条直线。

讲解好此题，这时接着问：“如果平面上有A、B、C、D四个点，其中没有三个点在

一条直线上，一共可以画出多少直线？”启发学生思考，一会儿就得到答案，一共可画3+2+1=6条直线。如果接着又问“平面上是 个点呢？” 学生一时得不到答案，又急切想把问题解决，就会处于主动探索、积极思考的状态之中。

然后进行分析，类似上面可知，如果过平面内的 个点，其中没有三个点在一条直线上，第一个点有 条直线，第二个点除重复外还有 条直线，依次类推，经过第 个点时，除重复外只有1条直线，所以一共可画 条直线。

学习以兴趣为动力，以质疑为关键。通过善设疑难问题，抓住适当的时机，激起学生探求新知识的欲望，从而他们的思维能力得到提高，培养了创造性思维能力。

（３）、善于引导求变，培养学生的创造性思维的灵活性

针对学生实际，通过巧妙的变化，将现有的知识结构进行调整，重新组合，利于巩固基础知识，拓宽思路，揭示解题规律。培养思维的灵活性，并能激发学生的好奇心和求知欲，产生创新意念，促进探求思维向更深层次发展。

例2、已知 ，求 的值。

分析：本题如果直接求方程的根，再求代数式的值，则此解法较繁难。可将方程变为 形式，再用完全平方公式的变形即 求值可获得巧解。

    解完成此题之后，可向学生提出，若在条件不变的情况下，结论可得到哪些不同的变化引伸，这时学生就会积极思考，产生许多不同的结论，然后进行归纳。将结论作如下的变换，分别求（1） （2） （3） （4） 的值。

（４）、善于引导拓广，培养学生的创造性思维的广阔性

“拓广”即对所学的知识进行深化、迁移，采用类比、联想、猜测等方法解剖问题，利于培养学生的思维能力，提高思维的变通性和创造性。比如数形结合法使代数、几何等各种知识相互渗透，综合应用，能“拓广”学生的思维。

例3、已知 均为正数，且

D

分析：（1）由已知条件 ， 均为正数，联想到勾股定理，构造一个直角三角形，使斜边 直角边

A

B

C

a

b

c

d

（2）由 与直角三角形的边相关联，设

图（1）

（如图1）由 ∽ 得，即 ，将之与已知条件  作比较得 。

（3）由三角形的面积公式 ，可得

（５）、善于引导抓住本质，培养学生的创造性思维的深刻性

透过现象看本质是解决一切问题的根据出发点。教学中应注意培养学生善于钻研问题，善于从复杂的表面现象中，发掘问题本质，揭示解题规律，从而提高数学思维能力和创造能力。

例4、（1）求证：方程 没有实数根。

（2）证明：二次函数 的图象与 轴必有两个交点。

 分析：这两道题表面观察好似不同，但实际具有相同的本质特征，问题都归结在一元二次方程的根的判别式上，只需判定判别式是大于、小于或等于零就能解决问题。（1）题，要使方程没有实数根，只须证 ＜0即可。（2）题，要使二次函数图象与 轴有两个交点，只须证方程 的 ＞0即可。

（６）、善于引导探索，培养学生的创造性思维敏捷性和探索性

平时在教学中多钻研教材，挖掘典型例题、习题的功能，有意识地对学生进行探索题、开放题的训练，培养他们积极探索和创新，为养成创造性思维的习惯提供锻炼的机会。

例5、（如图2）在 中， ＞ ，过 上一点 ，作直线 ，使得所作 的与原三角形相似，这样的直线可作       条。

分析：本题给出了不完备的题设：“在 中， ＞ ，

过 上一点 ，作直线 ”和结论“使得所作 的与原三角形相似”；由平面几何知，两条直线的位置关系有两种，平行和相交；当 ∥ 时， ∽ ；当 与 不平行，而 时， ∽ ；因此，这样的直线可以作两条。

例6、观察下列各式，你会发现什么规律？

    ；    ；  …… ； ……

将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：          （济南市2000中考）

要求学生可按下列步骤：

（1）观察  观察各等式的特点，即左端是两个相邻奇数的积，右端是两个数的平方差；

（2）分析  分析共同的特点和内在的联系，即  

（3）猜想  按分析的特点大胆联想所学的知识；即由联想到平方差公式

（4）结论  归纳得到规律，即 。

通过这样有目的的训练，让学生用现有的知识，通过猜想、探索、获取新知识和解决问题，利于培养学生的创造性思维能力。

（７）、善于借助实验，培养学生的创造性思维

利用硬纸片、木板、铁丝等精心制作一些教学模型，通过拼接、折叠等实验，给学生提供创造参与的机会，让他们在具体的思维情境中，敏锐地发现问题，并独立进行分析、比较、研究，使他们成为知识的发现者，从而培养创造性思维能力。

例如、在讲“四边形的不稳定性”时，可用课前准备的若干个三角形和四边形的木框，让学生进行拉、压试验，然后问：“木框哪样容易变形呢？”学生能很快地回答：“四边形”，从而得出“四边形具有不稳定性。”接着再拿出几根木条，问：“给你一根木条和钉子，怎样使一个四边形变稳定？”这时学生很有趣地比划着、思考着，最后启发引导学生，利用三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性的性质，只需使木条把四边形变成三角形即可。

借助实验这种生动的直观和思维相结合的教学方法，不仅能培养学生的动手、动口、动脑意识，激发学习和探索的积极性，而且使所学的知识，加深印象，更具有持久性。

总之，学生的创造性思维的培养是长期过程，需要教师和学生的共同配合。本文所谈的仅是培养创新思维能力的几种做法。在数学教学中，应始终把创新

思维的培养贯穿于教学的全过程，以达到提高学生的创造性的目的。

 

2009、9、16